因数分解公式の利用

　因数分解を利用して、次の計算をしなさい。

　30² － 20²＝（①）

答え
（①）＝500

解説・ヒント
因数分解の公式
𝓍² － a²
＝（𝓍 ＋ a)(𝓍 － a)
30² － 20²
＝（30 ＋ 20)(30 － 20)
＝50 × 10＝500

　42² － 32²＝（②）

答え
（②）＝740

解説・ヒント
42² － 32²
＝（42 ＋ 32)(42 － 32)
＝74 × 10＝740

　27² － 23²＝（③）

答え
（③）＝200

解説・ヒント
27² － 23²
＝（27 ＋ 23)(27 － 23)
＝50 × 4＝200

　46² － 36²＝（④）

答え
（④）＝820

解説・ヒント
46² － 36²
＝（46 ＋ 36)(46 － 36)
＝82 × 10＝820

　66² － 34²＝（⑤）

答え
（⑤）＝3200

解説・ヒント
66² － 34²
＝（66 ＋ 34)(66 － 34)
＝100 × 32＝3200

乗法公式の利用

　式の展開を利用して、次の計算をしなさい。

　41² ＝（①）

答え
（①）＝1681

解説・ヒント
乗法の公式①
（𝓍 ＋ a)²
＝𝓍² ＋2a𝓍 ＋ a²
（40 ＋ 1）²
＝40² ＋ 1 × 2 × 40 ＋ 1²
＝1600 ＋ 80 ＋ 1 ＝1681

　52² ＝（②）

答え
（②）＝2704

解説・ヒント
（50 ＋ 2）²
＝50² ＋ 2 × 2 × 50 ＋ 2²
＝2500 ＋ 200 ＋ 4 ＝2704

　73² ＝（③）

答え
（③）＝5329

解説・ヒント
（70 ＋ 3）²
＝70² ＋ 3 × 2 × 70 ＋ 3²
＝4900 ＋ 420 ＋ 9 ＝5329

　102² ＝（④）

答え
（④）＝10404

解説・ヒント
（100 ＋ 2）²
＝100² ＋ 2 × 2 × 100 ＋ 2²
＝10000 ＋ 400 ＋ 4 ＝10404

　204² ＝（⑤）

答え
（⑤）＝41616

解説・ヒント
（200 ＋ 4）²
＝200² ＋ 4 × 2 × 200 ＋ 4²
＝40000 ＋ 1600 ＋ 16 ＝41616

　59² ＝（⑥）

答え
（⑥）＝3481

解説・ヒント
乗法の公式②
（𝓍 － a)²
＝𝓍² －2a𝓍 ＋ a²
（60 － 1）²
＝60² － 1 × 2 × 60 ＋ 1²
＝3600 － 120 ＋ 1 ＝3481

　98² ＝（⑦）

答え
（⑦）＝9604

解説・ヒント
（100 － 2）²
＝100² － 2 × 2 × 100 ＋ 2²
＝10000 － 400 ＋ 4 ＝9604

　86² ＝（⑧）

答え
（⑧）＝7396

解説・ヒント
（90 － 4）²
＝90² － 4 × 2 × 90 ＋ 4²
＝8100 － 720 ＋ 16 ＝7396

　397² ＝（⑨）

答え
（⑨）＝157609

解説・ヒント
（400 － 3）²
＝400² － 3 × 2 × 400 ＋ 3²
＝160000 － 2400 ＋ 9 ＝157609

　536² ＝（⑩）

答え
（⑩）＝287296

解説・ヒント
（540 － 4）²
＝540² － 4 × 2 × 540 ＋ 4²
＝291600 － 4320 ＋ 16 ＝287296

　21 × 19 ＝（⑪）

答え
（⑪）＝399

解説・ヒント
乗法の公式③
（𝓍 ＋ a)(𝓍 － a)
＝𝓍² － a²
（20 ＋ 1)(20 － 1）
＝20² － 1 ²
＝400 － 1 ＝399

　29 × 31 ＝（⑫）

答え
（⑫）＝899

解説・ヒント
（30 ＋ 1)(30 － 1）
＝30² － 1 ²
＝900 － 1 ＝899

　65 × 75 ＝（⑬）

答え
（⑬）＝4875

解説・ヒント
（70 ＋ 5)(70 － 5）
＝70² － 5 ²
＝4900 － 25 ＝4875

　97 × 103 ＝（⑭）

答え
（⑭）＝9991

解説・ヒント
（100 ＋ 3)(100 － 3）
＝100² － 3 ²
＝10000 － 9 ＝9991

　19.6 × 20.4 ＝（⑮）

答え
（⑮）＝399.84

解説・ヒント
（20 ＋ 0.4)(20 － 0.4）
＝20² － 0.4 ²
＝400 － 0.16 ＝399.84

式の値の計算

　𝓍＝54、𝓎＝46 のとき、𝓍² ＋ 2𝓍𝓎 ＋ 𝓎²の値を求めなさい。（①）

答え
（①）＝10000

解説・ヒント
𝓍² ＋ 2𝓍𝓎 ＋ 𝓎²＝（𝓍 ＋ 𝓎）²
𝓍＝54、𝓎＝46を代入する
＝（54 ＋ 46）²
＝100²
＝10000

　𝓍＝12、𝓎＝－18 のとき、𝓍² － 2𝓍𝓎 ＋ 𝓎²の値を求めなさい。（②）

答え
（②）＝900

解説・ヒント
𝓍² － 2𝓍𝓎 ＋ 𝓎²＝（𝓍 － 𝓎）²
𝓍＝12、𝓎＝－18を代入する
＝（12 ＋ 18）²
＝30²
＝900

　𝓍＝22、𝓎＝14 のとき、𝓍² ＋ 4𝓍𝓎 ＋ 𝓎²の値を求めなさい。（③）

答え
（③）＝2500

解説・ヒント
𝓍² ＋ 4𝓍𝓎 ＋ 𝓎²＝（𝓍 ＋ 2𝓎）²
𝓍＝22、𝓎＝14を代入する
＝（22 ＋ 2 ×14）²
＝50²
＝2500

　𝓍＝35 のとき、（𝓍 － 1)(2𝓍 ＋ 3) － (𝓍 ＋ 1)(2𝓍 － 3) の値を求めなさい。（④）

答え
（④）＝70

解説・ヒント
（𝓍 － 1)(2𝓍 ＋ 3) － (𝓍 ＋ 1)(2𝓍 － 3) ＝2𝓍
𝓍＝35を代入する
＝2 ×35
＝70

　𝓍＝52 のとき、（6𝓍²𝓎 － 18𝓍𝓎 ＋ 12𝓍𝓎²) ÷ 3𝓍𝓎 ＋ 2(3 － 2𝓎) の値を求めなさい。（⑤）

答え
（⑤）＝104

解説・ヒント
（6𝓍²𝓎 － 18𝓍𝓎 ＋ 12𝓍𝓎²) ÷ 3𝓍𝓎 ＋ 2(3 － 2𝓎) ＝2𝓍
𝓍＝52を代入する
＝2 ×52
＝104

　𝓍＝14、𝓎＝3 のとき、(3𝓍 ＋ 2𝓎)² － 3𝓍(3𝓍 ＋ 4𝓎)の値を求めなさい。（⑥）

答え
（⑥）＝36

解説・ヒント
(3𝓍 ＋ 2𝓎)² － 3𝓍(3𝓍 ＋ 4𝓎)＝4𝓎²
𝓍＝14、𝓎＝3を代入する
＝4 × 3²
＝36

　𝓍＝－24 のとき、(7 ＋ 𝓍)(7 － 𝓍) － (3 ＋ 𝓍)(1 － 𝓍）の値を求めなさい。（⑦）

答え
（⑦）＝－2

解説・ヒント
(7 ＋ 𝓍)(7 － 𝓍) － (3 ＋ 𝓍)(1 － 𝓍）＝2𝓍 ＋ 46
𝓍＝－24を代入する
＝2 × －24 ＋ 46
＝－2

　𝓍＝－4 、𝓎＝－5のとき、(𝓍 ＋ 𝓎)(𝓍 ＋ 9𝓎) － (𝓍 ＋ 3𝓎)²の値を求めなさい。（⑧）

答え
（⑧）＝80

解説・ヒント
(𝓍 ＋ 𝓎)(𝓍 ＋ 9𝓎) － (𝓍 ＋ 3𝓎)²＝4𝓍𝓎
𝓍＝－4 、𝓎＝－5を代入する
＝4 × －4 × －5
＝80

　𝓍＝12.5 、𝓎＝0.5のとき、𝓍² － 10𝓍𝓎 ＋ 25𝓍𝓎の値を求めなさい。（⑨）

答え
（⑨）＝100

解説・ヒント
𝓍² － 10𝓍𝓎 ＋ 25𝓍𝓎＝(𝓍 － 5𝓎)²
𝓍＝12.5 、𝓎＝0.5を代入する
＝(12.5 － 5 × 0.5)²
＝10²
＝100

　𝓍＝ 3 5 のとき、(𝓍 ＋ 4)² － 𝓍(𝓍 ＋ 3)の値を求めなさい。（⑩）

答え
（⑩）＝19

解説・ヒント
(𝓍 ＋ 4)² － 𝓍(𝓍 ＋ 3)＝5𝓍 ＋ 16
𝓍＝ 3 5 を代入する

＝5 × 3 5 ＋ 16 ＝19

証明

　奇数と奇数の積は奇数であることを証明しなさい。（①）

答え
（①）＝2つの奇数を2n＋1、2m＋1とすると、
その積は(2n＋1)(2m＋1)
＝4mn＋2m＋2n＋1
＝2(2mn＋m＋n)＋1
2mn＋m＋nは整数なので
2(2mn＋m＋n)＋1は奇数となる。

　連続する 2 つの奇数の積に 1 を加えた数は, 4 の倍数になることを証明しなさい。（②）

答え
（②）＝連続する2つの奇数は、2n＋1、2n＋3と表せる。
この2数の積に1を加えた数は、
＝(2n＋1)(2n＋3)＋1
＝4n² ＋ 8n ＋ 4
＝4(n² ＋ 2n ＋ 1)
n² ＋ 2n ＋ 1は整数なので
4(n² ＋ 2n ＋ 1)は4の倍数となる。

　奇数の平方から1を引いた数は4の倍数であることを証明しなさい。（③）

答え
（③）＝奇数は、2n－1と表せる。
奇数の平方から1を引いた数は（2n－1)²－1
＝4n² － 4n ＋ 1 － 1
＝4n² － 4n
＝4(n² － n)
n² － nは整数なので
4(n² － n)は4の倍数となる。

　連続する3つの整数がある。その中の最大の整数と最小の整数の積は、真ん中の整数の平方よりも1小さい数と等しくなることを証明しなさい。（④）

答え
（④）＝連続する3つの整数は、n－1、n、n＋1と表せる。
最大の整数と最小の整数の積は (n － 1)(n ＋ 1)＝ n² －1
真ん中の整数の平方よりも1小さい数は n² －1
なので、最大の整数と最小の整数の積は、真ん中の整数の平方よりも1小さい数と等しくなる。

　連続する3つの整数がある。それぞれの数の平方の和から5を引いた数は、最大の整数と最小の整数の積の3倍に等しくなることを証明しなさい。（⑤）

答え
（⑤）＝連続する3つの整数は、n、n＋1、n＋2と表せる。
それぞれの数の平方の和から5を引いた数は n² ＋ (n ＋ 1)² ＋ (n ＋ 2)²－5
＝ 3n² ＋ 6n
最大の整数と最小の整数の積の3倍の数は n ＋ (n ＋ 2) × 3
＝ 3n² ＋ 6n
なので、3つの整数のそれぞれの数の平方の和から5を引いた数は、最大の整数と最小の整数の積の3倍に等しくなる。

　連続する3つの整数がある。最小の整数と真ん中の整数の積に真ん中の整数の2倍を加えると、真ん中の整数と最大の整数の積に等しくなることを証明しなさい。（⑥）

答え
（⑥）＝連続する3つの整数は、n－1、n、n＋1と表せる。
最小の整数と真ん中の整数の積に真ん中の整数の2倍を加えた数は
(n － 1)n ＋ 2n＝n² ＋ n ＝ n(n ＋ 1)
真ん中の整数と最大の整数の積は n(n ＋ 1)
なので、最小の整数と真ん中の整数の積に真ん中の整数の2倍を加えた数は、真ん中の整数と最大の整数の積に等しくなる。

　連続する3つの整数がある。それぞれの数の平方の和から5を引いた数は、最大の整数と最小の整数の積の3倍の数と等しくなることを証明しなさい。（⑦）

答え
（⑦）＝連続する3つの整数は、n、n＋1、n＋2と表せる。
それぞれの数の平方の和から5を引いた数は
n² ＋ (n ＋ 1)² ＋ (n ＋ 2)² － 5＝3n² ＋ 6n
最大の整数と最小の整数の積の3倍の数は n(n ＋ 2) × 3＝3n² ＋ 6n
なので、それぞれの数の平方の和から5を引いた数は、最大の整数と最小の整数の積の3倍の数に等しくなる。